Lema de Gauss

En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo es irreducible en si y sólo si lo es en .

El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es .

Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU.

También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.

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