Límite (teoría de categorías)

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En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta de límite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos.

La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.

Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, existen a un gran nivel de abstracción. De manera que, para entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.

Definición

Antes de definir el límite de un funtor covariante debemos definir el cono (en el sentido teoría de categorías, de cone) de un funtor (covariante) F : J C , ayudándonos del diagrama de abajo, que consta de:

  • Dos objetos de la categoría J: X e Y.
  • Un morfismo f, de dicha categoría, f:XY
  • Las imágenes por F de los dos objetos X e Y.
  • La "F-imagen" del morfismo f (imagen de f por F: F(f)).
  • Un objeto L de la categoría C, " vértice" del "cono".
  • Los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X) , y desde L hacia F(Y).

Limitefuntor.png


Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.

Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, un cono (L, X) de F decimos que es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe sólo un morfismo u: N L tal que X · u = X.

Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.

La definición de colímite y de co-cono es la de arriba pero con todas las flechas "al revés". Debiera explicitarse.

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