Jacobiano

En cálculo vectorial, se llama jacobiano o determinante jacobiano al determinante de la matriz jacobiana. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi.

En geometría algebraica, el jacobiano de una curva hace referencia a la variedad jacobiana, un grupo y variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva puede ser embebida.

Matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Propiamente deberíamos hablar más que de matriz jacobiana, de diferencial jacobiana o aplicación lineal jacobiana ya que la forma de la matriz dependerá de la base o coordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases diferentes la aplicación lineal jacobiana tendrá componentes diferentes aún tratándose del mismo objeto matemático. La propiedad básica de la "matriz" jacobiana es la siguiente, dada una aplicación cualquiera continua, es decir se dirá que es diferenciable si existe una aplicación lineal tal que:

( 1)

Función escalar

Empecemos con el caso más sencillo de una función escalar . En este caso la matriz jacobiana será una matriz formada por un vector fila que coincide con el gradiente. Si la función admite derivadas parciales para cada variable puede verse que basta definir la "matriz" jacobiana como:

Ya que entonces se cumplirá la relación (1) automáticamente, por lo que en este caso la "matriz jacobiana" es precisamente el gradiente.

Función vectorial

Supongamos es una función que va del espacio euclídeo n-dimensional a otro espacio euclídeo m-dimensional. Esta función está determinada por m funciones escalares reales:

Cuando la función anterior es diferenciable, entonces las derivadas parciales de estas m funciones pueden ser organizadas en una matriz m por n, la matriz jacobiana de F:

Esta matriz es notada de diversas maneras:

Nótese que la fila, i-ésima fila coincidirá dada con el gradiente de la función yi, para i = 1,...,m.

Si p es un punto de Rn y F es diferenciable en p, entonces su derivada está dada por JF(p). En este caso, la aplicación lineal descrita por JF(p) es la mejor aproximación lineal de F cerca del punto p, de esta manera:

para x cerca de p. O con mayor precisión:

En ciertos espacios vectoriales de dimensión no finita, formados por funciones, puede generalizarse el concepto de matriz jacobiana definiendo una aplicación lineal jacobiana.

Ejemplos

Ejemplo 1. La matriz jacobiana de la función F : R3R3 definida como:

es:

No siempre la matriz jacobiana es cuadrada. Véase el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Supóngase la función F : R3R4, cuyas componentes son:

Aplicando la definición de matriz jacobiana:

Other Languages
беларуская: Матрыца Якобі
català: Jacobià
Deutsch: Jacobi-Matrix
Esperanto: Jakobia matrico
עברית: יעקוביאן
íslenska: Jacobi-fylki
日本語: ヤコビ行列
한국어: 야코비 행렬
Nederlands: Jacobi-matrix
português: Matriz jacobiana
slovenščina: Jacobijeva matrika
српски / srpski: Јакобијан
svenska: Jacobimatris
українська: Матриця Якобі
Tiếng Việt: Ma trận Jacobi