Interacción de canje

Integral o energía de canje

El canje o intercambio se produce entre dos electrones 1 y 2, ligados a los núcleos a y b.

Los efectos de la interacción de canje fueron descubiertos independientemente por los físicos Werner Heisenberg y Paul Dirac en 1926;^{[nota 4]} Esta circunstancia hace que el tratamiento cuántico adecuado de las partículas idénticas requiera estadística de Bose-Einstein, si las partículas idénticas son bosones o la de Fermi-Dirac, si son fermiones. En este contexto, el canje o intercambio entre dos electrones con posiciones ${\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}}$ y espines s₁,s₂ o, en general, entre dos fermiones, conlleva un cambio de signo de la función de ondas Ψ que define matemáticamente al sistema:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{2},s_{2};{\vec {r}}_{1},s_{1})=-\psi ({\vec {r}}_{1},s_{1};{\vec {r}}_{2},s_{2})}$

En este aspecto, los fermiones contrastan con los bosones, para los que el intercambio entre dos partículas mantiene la función de onda idéntica. Hay que tener en cuenta que todas las propiedades observables dependen del cuadrado de la función de onda. El intercambio de dos partículas idénticas, sean bosones o fermiones, no cambia el valor absoluto de la función de onda, y por tanto no cambia ninguna propiedad física.

La diferencia básica entre bosones y fermiones es que los primeros pueden agruparse en el mismo estado y posición en un número cualquiera de ellos, como ocurre con los fotones en un láser. Por otro lado, los fermiones idénticos no pueden estar en la misma posición y en el mismo estado.^{[nota 5]} Los tres electrones de un átomo de litio en su estado de mínima energía no pueden estar en el orbital 1s y con espín arriba, pese a que este sea el orbital más estable: tendrá dos electrones 1s, uno con espín arriba y otro con espín abajo, y un electrón 2s.

La interacción de canje no tiene análogo clásico, y altera el valor esperado de la energía de los estados según su simetría espacial, lo cual se traduce en diferente simetría de espín y diferente valor esperado del momento magnético. La energía de canje denotada J₁₂, que se produce por la repulsión de Coulomb entre dos electrones 1 y 2, que pueden ser descritos por las funciones de ondas ϕ_A y ϕ_B, y que tienen el mismo número cuántico de espín viene dada, en la notación bra-ket de Dirac:

${\displaystyle \langle J_{12}\rangle =\left\langle \phi _{A}^{(1)}\phi _{B}^{(2)}\left|{\frac {e^{2}}{r_{12}}}\right|\phi _{A}^{(2)}\phi _{B}^{(1)}\right\rangle }$

, donde e es la carga elemental y r₁₂ es el valor esperado de la distancia entre los electrones. A veces se la llama integral de canje porque también puede expresarse como una integral a todo el espacio de tipo:

${\displaystyle J_{12}=\int \phi _{A}^{*}(r_{1})\phi _{B}^{*}(r_{2})V_{I}(r_{1},r_{2})\phi _{B}(r_{1})\phi _{A}(r_{2})\,dr_{1}\,dr_{2}.}$

Donde ${\displaystyle \scriptstyle \{r_{1},\,r_{2}\}}$ representan a las tres coordenadas espaciales de cada electrón ${\displaystyle \scriptstyle \{x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,z_{2}\}}$, ϕ^* es la función compleja conjugada de ϕ y la interacción ${\displaystyle \scriptstyle V_{I}(r_{1},r_{2})}$ puede tener la forma ${\displaystyle \scriptstyle e^{2}/r_{12}}$. Esta integral estabiliza el triplete de espín, de acuerdo con la regla de Hund.

Esta interacción es parte de la correlación electrónica, y está relacionada con lo que se conoce como hueco de Fermi: la tendencia de un electrón de un número cuántico de espín a no situarse en el mismo punto del espacio que otro electrón con el mismo número cuántico de espín; en oposición a dos bosones, que tienden a estar más cerca de lo que estarían si fueran partículas distinguibles.^[1]

Conviene insistir en que esta interacción no es de naturaleza magnética, sino eléctrica.^[7] Sin embargo, como se desarrolla en el resto de este artículo, algunos de sus efectos más notables sí son magnéticos, y es por ese motivo que se le llama, con cierta impropiedad, canje magnético. Más aún, como se explica más abajo, se llega a llamar por analogía «canje dipolar» o «canje a través del espacio» a lo que no es sino una interacción magnética dipolar.