Integral elíptica

Una integral elíptica es una integral de la forma:

o de forma alternativa como:

donde , , y son polinomios en y es un polinomio de grado 3 ó 4.

La denominación integral elíptica parte de los primeros problemas donde tuvieron lugar estas integrales, relacionados con el cálculo de la longitud de segmentos de elipse.

Las integrales elípticas pueden verse como generalizaciones de la funciones trigonométricas inversas. Las integrales elípticas proporcionan soluciones a una clase de problemas algo más amplia que las funciones trigonométricas inversas elementales, por ejemplo el cálculo de la longitud de arco de una circunferencia sólo requiere de las funciones trigonométricas inversas, pero el cálculo de la longitud de arco de una elipse requiere de integrales elípticas. Otro buen ejemplo es el péndulo, cuyo movimiento para pequeñas oscilaciones puede representarse por funciones trigonométricas, pero para oscilaciones más grandes requiere el uso de funciones elípticas basadas en las integrales elípticas.

Cálculo

Todas las integrales elípticas del tipo anterior pueden ser reescritas en términos en forma de suma de funciones elementales y tres tipos "básicos" de integrales elípticas (llamados de primera especie, de segunda especie y de tercera especie. Para ver esto escribamos la integral elíptica en la forma:

Donde es una función de , tal que es un polinomio de tercer o cuarto grado, que contiene al menos una potencia impar de .[1]

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