Integración de Riemann

En la rama de la Matemáticas conocida como análisis real, la integral de Riemann, creada por Bernhard Riemann en un artículo publicado en 1854, fue la primera definición rigurosa de la integral de una función en un intervalo.[1] Para muchas funciones y aplicaciones prácticas, la integral de Riemann puede ser evaluada por el teorema fundamental del cálculo o aproximada por integración numérica.

La integral de Riemann es inadecuada para muchos propósitos teóricos. Algunas de las deficiencias técnicas en la integración de Riemann se pueden remediar con la integral de Riemann-Stieltjes, y la mayoría desaparecen con la integral de Lebesgue.

La integral de Riemann de una función real de variable real se denota usualmente de la siguiente forma:

Si bien el artículo en gran parte se restringe a la integración sobre intervalos acotados de , el concepto puede generalizarse a dominios acotados de sin mucha dificultad.

Definición formal

Se van a definir cuatro conceptos, el último siendo el que nos interesa: el primero una partición de un intervalo , el segundo la norma de una partición, el tercero una suma de Riemann y el último que una función acotada sea Riemann integrable en un intervalo .

Partición de un intervalo y su norma

Sea un intervalo cerrado sobre los números reales. Entonces una partición de es un subconjunto finito tal que , con . La norma de la partición es la longitud del intervalo más grande:

Lo que estamos haciendo, en pocas palabras, es cortar al intervalo en subintervalos disjuntos, cuya unión forma el intervalo original, la norma es el valor del intervalo de mayor longitud.

Suma de Riemann

Sea una función en y tomemos una partición del intervalo , que denotaremos por entonces llamamos suma de Riemann a una suma de la forma:

, con

De manera intuitiva esta suma representa la suma de áreas de rectángulos con base y altura . Simbolizamos esta suma como , también se utiliza la notación más extensa pero más explícita:

Integrabilidad de Riemann

Una función acotada definida en un intervalo se dice que es Riemann integrable en si existe un número en los reales tal que, para todo número real positivo existe una positiva tal que si es una partición de con y es cualquier suma de Riemann entonces .

Usualmente para funciones conocidas que sabemos integrables se toma una partición regular del intervalo y se toman los como alguno de los puntos extremos de cada intervalo(notar que si no supiéramos que la función es integrable entonces no podríamos tomar cualquier punto del intervalo arbitrariamente, es decir, no podríamos tomar los valores extremos, tendríamos que revisar que para cualquier valor que tomáramos en cada intervalo la suma de Riemann menos algún número real es menor en valor absoluto que cualquier que hubiéramos tomado, en caso de cumplirse habríamos demostrado que la función f es integrable según Riemann en y habríamos hallado su valor; en caso de no cumplirse no habríamos probado nada en absoluto), cuando llevamos al límite esta partición, se puede demostrar que obtenemos el valor de la integral:

Esta última expresión es sobre todo útil para funciones que sabemos que son integrables como, por ejemplo, las continuas. Podemos demostrar que toda función que es continua en un intervalo , es integrable, en cuyo caso lo único que restaría sería encontrar el valor de la integral. Por supuesto, si ya estamos familiarizados con el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo entonces basta hallar una función (denominada primitiva de ) cuya derivada nos dé nuestra función original y entonces el valor de la integral es . No siempre podemos hallar una función primitiva de la que estamos integrando. En esos casos, se recurre a una expresión como la anterior o a métodos de aproximación.

Condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de Riemann

En este apartado nos referiremos a funciones acotadas en un intervalo cerrado (igual que en los apartados anteriores).

Una función no ha de ser continua para ser integrable de Riemann (no obstante esta es una condición suficiente); de hecho una función continua en todo el intervalo salvo en un punto es integrable de Riemann, incluso una función con un número numerable de discontinuidades es integrable y en el caso extremo ciertas funciones con un número no numerable de discontinuidades pueden ser integrables. El siguiente teorema establece que una función es integrable si y solo si su conjunto de discontinuidades se puede recubrir por conjuntos abiertos tales que la suma de sus anchuras puede hacerse arbitrariamente pequeña.

Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann

Sea una función definida y acotada en y sea el conjunto de las discontinuidades de en . Entonces (con el conjunto de las funciones Riemann integrables) en si, y solo si, tiene medida cero.

De este modo, cualquier función continua o con un conjunto numerable de discontinuidades es integrable. Como ejemplo de función con un conjunto no numerable de discontinuidades e integrable tenemos por ejemplo:

siendo C el conjunto de Cantor.

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