Inducción transfinita

La inducción transfinita es una extensión de la inducción matemática a (grandes) conjuntos bien ordenados, tales como conjuntos de ordinales o cardinales.

Definición formal

Supóngase que si para todo β < α vale P(β), entonces P(α) vale también. Entonces, por inducción transfinita, P vale para todos los ordinales.

Esto es, si P(α) vale siempre que P(β) valga para todo β < α, entonces P(α) vale para todo α. En términos prácticos, esto significa que para probar una propiedad P para todos los ordinales α, se puede asumir que ya está demostrada para todos los β < α.

Normalmente, una tal prueba se divide en tres casos:

  • Caso cero: Demostrar que vale P(0).
  • Caso sucesor: Demostrar que para todo ordinal sucesor β+1, P(β+1) se sigue de P(β) (y, de ser necesario, de P(α) para todo α < β).
  • Caso límite: Demostrar que para todo ordinal límite λ, P(λ) se sigue de [P(α) para todo α < λ].

Los últimos dos casos son idénticos, excepto por el tipo de ordinal considerado. Formalmente no necesitan ser probados por separado, pero usualmente las demostraciones difieren tanto que requieren ser presentadas por separado.

Other Languages