Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

donde:

  • π (número pi) es un número irracional y trascendente que relaciona la longitud de la circunferencia con su diámetro y está presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
  • e (número de Euler) es la suma de la serie , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendente.
  • i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
  • 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Explicación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular si

entonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en el desarrollo polinómico de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el segundo miembro de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

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