Idempotencia

En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes, para la operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).

Definición

Formalmente, si es un magma, es decir, un conjunto con una operación binaria , entonces un elemento se dice idempotente si . Si todo fuese idempotente bajo , entonces la operación en sí se denominaría operación idempotente. En particular, cualquier elemento identidad es un idempotente bajo *.

En álgebra conjuntista, las operaciones de unión e intersección de conjuntos son idempotentes. En efecto, la unión o intersección de un conjunto consigo mismo, entregan como resultado el conjunto mismo.

Análogamente, en álgebra booleana, los operadores Y (and, ) y O (or, ) son idempotentes. En efecto, si V=Verdadero, F=Falso: . Análogamente para F.

En álgebra lineal, la proyección es idempotente. Es decir, cualquier matriz que proyecta todos los vectores sobre un subespacio V (no necesariamente ortogonalmente) es idempotente, si V mismo está fijo punto por punto.

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