Icosaedro

Icosaedro estrellado
Familia: Sólidos platónicos
Icosahedron.svg
Imagen del sólido
Caras 20
Polígonos que forman las caras Triángulos equiláteros
Aristas 30
Vértices 12
Grupo de simetría Icosaédrico(Ih)
Poliedro dual Dodecaedro
Ángulo diedro 138,189685°
Símbolo de Schläfli {3,5}
Símbolo de Wythoff 5 | 2 3
Propiedades
Deltaedro regular convexo
[ editar datos en Wikidata]

Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.

Etimología: del griego eikosaedron, de εἴκοσι éikosi "veinte" y ἕδρα hedra "asiento, cara". Adjetivo: icosaédrico.


Cálculo de dimensiones fundamentales

Radio externo

Si a es la longitud de una arista de un icosaedro regular, el radio de una esfera circunscripta (una que toca al icosaedro en todos sus vértices) es

Radio interno

El radio de una esfera inscrita (tangente a las caras del icosaedro) es

Ángulo

El ángulo que forman los vectores que van del centro a dos vértices adyacentes es constante y vale:

Volumen, área y desarrollo

Animación de uno de los desarrollos del Icosaedro.

Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

(Aproximadamente 2,18·a³)

Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

(Aproximadamente 8,66·a²)

Desarrollo del icosaedro: Desarrollo del icosaedro.

Coordenadas cartesianas y estructura

Icosahedron-golden-rectangles.png
Los 12 pentágonos internos que constituyen el icosaedro determinan las caras del gran dodecaedro.

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los vértices de un icosaedro centrado en el origen:

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)

Donde φ = (1+√5)/2 es la razón áurea (también escrito como τ). Nótese que los vértices de un icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonales entre sí. El icosaedro contiene en su interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contiene a dos aristas opuestas. Esto se debe a que dos lados del rectángulo es la arista del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos pentágonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pentágono regular está en proporción áurea con el lado del pentágono, que en este caso es la arista del icosaedro.

El icosaedro, a pesar de estar formados por 20 triángulos equiláteros, puede considerarse como la unión de 12 pentágonos regulares internos. La intersección de los pentágonos entre sí origina las 30 aristas que conforman el icosaedro. Los 12 pentágonos regulares mencionados determinan las caras del gran dodecaedro, uno de los sólidos de Kepler-Poinsot.

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