Homotecia

Homotecia con centro O y λ>1.

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro.

Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje impropio, con centro en el de homología.

Definición

Esquema de operación de una homotecia, en el plano euclídeo.

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo . Sea X un elemento (visto como un punto) de E. La homotecía de centro C y de razón k, denotada envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M' tal que:

( 1a)

La ecuación anterior puede escribirse también como una transformación afín de la forma:

( 1b)

La anterior relación puede escribirse vectorialmente en el plano como:

Donde: , y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza trivialmente.


La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

  1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
  2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
  3. La imagen de línea es otra línea paralela a la original.
  4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
  5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
  6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
  7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).
  8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .
  9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.

Cuando K es mayor que cero es k mayor Cuando el cuerpo de escalares son los Reales, se cumple que:

  1. todas las longitudes son multiplicadas por |k|, el valor absoluto de la razón.
  2. el cociente de longitudes es conservado: A'C'/B'E' = AC/BE en la figura
  3. los ángulos orientados son conservados, en particular los ángulos rectos. Es obvio en la figura.

Más aún:

  1. k = - 1 corresponde a la simetría de centro C que es la rotación alrededor de C de ángulo π radianes (180º).
  2. |k| > 1 implica una ampliación de la figura.
  3. |k| < 1 implica una reducción.
  4. k < 0, la homotecia se puede expresar como la composición de una simetría con una homotecia de razón |k|, ambas de igual centro. Que la homotecia original.
Other Languages
العربية: تحاك
azərbaycanca: Homotetiya
català: Homotècia
čeština: Stejnolehlost
Deutsch: Homothetie
Ελληνικά: Ομοιοθεσία
Esperanto: Homotetio
suomi: Homotetia
français: Homothétie
magyar: Homotécia
italiano: Omotetia
ქართული: ჰომოთეტია
Lëtzebuergesch: Homothetie
norsk nynorsk: Homotetisk
occitan: Omotecia
português: Homotetia
română: Omotetie
русский: Гомотетия
slovenščina: Središčni razteg
українська: Гомотетія