Hipótesis del continuo

En teoría de conjuntos, la hipótesis del continuo es un enunciado relativo a la cardinalidad del conjunto de los números reales, formulado como una hipótesis por Georg Cantor en 1878. Su enunciado afirma que no existen conjuntos infinitos cuyo tamaño esté estrictamente comprendido entre el del conjunto de los números naturales y el del conjunto de los reales. El nombre continuo hace referencia al conjunto de los reales.

La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemas de Hilbert propuestos en 1900. Las contribuciones de Kurt Gödel y Paul Cohen demostraron que es de hecho independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de axiomas estándar en teoría de conjuntos.

Introducción

En teoría de conjuntos, el concepto de número cardinal se introduce para clasificar y estudiar los distintos tipos de infinitos. El cardinal del conjunto de los números naturales N se denota por 0. Los conjuntos de los números enteros Z y de los números racionales Q tienen el mismo cardinal, y se dicen numerables. El conjunto de los números reales R tienen un cardinal más grande denotado por c (por continuo), cuyo valor preciso es 20 cuando se expresa en la aritmética de cardinales infinitos.

Esta expresión puede entenderse al escribir un número real, puesto que en general es necesario incluir en su parte fraccionaria una sucesión infinita de cifras:

La cantidad de números reales que pueden escribirse es igual al número de combinaciones posibles. Por ejemplo, un número de 3 cifras tiene 103 = 1000 valores posibles. En el caso de un número real arbitrario el número de cifras es infinito o, de otro modo, el número de cifras es 0, por lo que existen 100 valores posibles. Puesto que la base de esta expresión es finita mientras que su exponente es infinito, el valor concreto de la base no afecta al valor final de la expresión, y puede escribirse también como 20.

Un subconjunto de R tiene necesariamente un cardinal o bien menor que 20 (por ejemplo, los números naturales N, con cardinal 0), o bien igual a 20 (como por ejemplo el intervalo [0, 1] de los números entre 0 y 1). La hipótesis del continuo afirma precisamente que no es posible encontrar un subconjunto de R con cardinal comprendido entre 0 y 20.

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