Grupo uniparamétrico

En matemáticas, un grupo uniparamétrico o subgrupo uniparamétrico es un subconjunto de un grupo de Lie de dimensión uno. De hecho un grupo uniparamétrico puede ser representado por una colección de "operadores" o elementos de un grupo , que vienen dados por un homomorfismo local de grupo continuo , de la recta real , considerada como grupo aditivo) a otro grupo topológico G. Un homomorfismo local como el anterior se define por las siguientes condiciones:



Grupo uniparamétrico global

Cuando la aplicación que define el subgrupo se puede extender a toda la recta real, es decir, cuando en la definición anterior puede extenderse de modo que , entonces la extensión de es un homeomorfismo ordinario y entonces el grupo uniparamétrico no sólo es un subconjunto de un grupo continuo de dimensión uno, sino que toda la colección es en sí misma un grupo continuo unidimensional.

Un grupo uniparamétrico global puede ser identificado con un grupo de Lie unidimensional.

Ejemplo

La aplicación dada por:


Donde denota el conjunto de números complejos de módulo unidad, que topológicamente puede ser interpetado como el círculo unidad del plano euclídeo; constituye un grupo uniparamétrico local, no trivial y la aplicación es un epimorfismo de grupos. En este caso el grupo paramétrico unidimensional es además un grupo de Lie.

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