Grupo lineal general

En matemáticas, el grupo lineal general (GL) de un espacio vectorial , denotado como , es el grupo formado por todos los isomorfismos de ese espacio.

Cuando el espacio vectorial es siendo un cuerpo F (tal como o ), se escribe (en lugar de ) y se llama grupo lineal general de grado n sobre el cuerpo. Este último grupo puede ser pensado como el grupo de matrices invertibles n por n con las entradas en , con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices. (esto es ciertamente un grupo porque el producto de dos matrices invertibles es otra vez invertible, al igual que la inversa de una invertible.) Si el cuerpo es claro por contexto escribimos a veces , o .

El grupo lineal especial (SL), escrito o , es el subgrupo de de las matrices con determinante 1.

El grupo y sus subgrupos se llaman a menudo grupos lineales o grupos matriciales. Estos grupos son importantes en la teoría de las representaciones de grupo, y también se presentan en el estudio de simetrías espaciales y de simetrías de los espacios vectoriales en general, así como el estudio de los polinomios.

Si n ≥ 2, el grupo no es grupo abeliano.

Grupo lineal general de un espacio vectorial

Si es un espacio vectorial sobre el cuerpo , entonces escribimos o para el grupo de todos los automorfismos de , es decir el conjunto de todas las transformaciones lineales biyectivas VV, junto con la composición funcional como operación de grupo. Si la dimensión de V es n, entonces y son isomorfos. El isomorfismo no es canónico; depende de una elección de una base en V. Una vez que se haya elegido una base, cada automorfismo de V se puede representar como una matriz invertible n por n, que establece el isomorfismo.

Grupo lineal del espacio euclídeo

Si consideramos el espacio euclídeo n-dimensional o como espacio vectorial su grupo lineal estará representado por todas las aplicaciones lineales que admiten inversa. Si escogemos una base cualquiera para ese espacio vectorial, cada aplicación lineal podría expresarse mediante una matriz. Entonces el grupo lineal vendrá representado por el conjunto de todas las matrices que representan aplicaciones lineales que admiten inversa, y por tanto, por matrices cuyo determinante es diferente de cero (ya que el álgebra lineal establece que una aplicación lineal invertible viene representada en una base por una matriz de determinante diferente de cero).

Puede demostrarse que el grupo lineal sobre un espacio euclídeo n-dimensional puede considerarse como una variedad diferenciable dentro de por lo que la dimensión de este grupo de Lie como variedad diferenciable es n2.

Grupo lineal de un espacio normado

En un espacio vectorial normado E el grupo lineal GL(E) puede ser dotado de una topología inducida, y resulta ser un conjunto abierto dentro del conjunto de aplicaciones lineales o morfismos del espacio vectorial E.

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