Grupo de isometría

El grupo de isometría de un conjunto está formado por todas las transformaciones geométricas formado por traslaciones, rotaciones y reflexiones que no alteran las distancias de un conjunto.

En un grupo de isometría, la operación de grupo viene dada por la composición de isometrías, y el inverso de una transformación u operación de simetría es precisamente la operación de deshacer dicha operación.


Grupo de isometría del espacio euclídeo

En el espacio euclídeo podemos definir varias operaciones que no alteran las distancias. Así por ejemplo si consideramos un objeto dentro del espacio euclídeo podemos transportarlo a otra posición y cambiar su orientación. Así el grupo de isometría está formado por:

  • Las traslaciones o conjunto de aplicaciones de la forma:
  • Las rotaciones, que pueden representarse matemáticamente el conjunto de aplicaciones de la forma: , donde es una matriz de determinante 1 que cumple

A estas transformaciones podemos sumarle una transformación más abstracta que no podemos realizar con objetos físicos reales pero sí abstractametne sobre conjuntos del espacio, formada por:

  • Las reflexiones y las composiciones de diversas reflexiones. Una reflexión puede representarse por una matriz de determinante -1.

El conjunto de todas las rotaciones y reflexiones forma un subgrupo muy importante del grupo de isometrías, llamado grupo ortonormal y designado como . Matricialmente el grupo de simetría del espacio euclídeo puede represetnarse por matrices cuadrdas del tipo:

donde , .

Subconjunto

Dado un subconjunto del espacio euclídeo de dimensión n, su grupo de isometría es un subgrupo del grupo producto formado a partir del grupo ortogonal y el grupo de traslaciones:

Si el conjunto es acotado entonces se tiene necesariamente:

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