Grupo cociente

En teoría de grupos, dado un grupo G y un subgrupo normal N de G, el grupo cociente o grupo factor de G sobre N es, intuitivamente, el grupo que "colapsa" el grupo normal N al elemento neutro. El grupo cociente se denota por G/N, lo que normalmente se lee en español como "G sobre N".

Producto de subconjuntos de un grupo

En la siguiente discusión, se definirá una operación binaria en los subconjuntos de G: dados dos subconjuntos S y T de G, se define su producto como:

Esta operación es asociativa, y tiene por elemento neutro al conjunto {e}, donde e es el neutro de G. El conjunto de los subconjuntos de G forma entonces un monoide bajo esta operación.

En términos de dicha operación se puede primero definir lo que es un grupo cociente, y luego un subgrupo normal:

Un grupo cociente de un grupo G es una partición de G en la cual la operación de producto de subconjuntos sea cerrada.

No es difícil demostrar que basta con esta condición, aparentemente débil, para que un "grupo cociente" sea, efectivamente, un grupo con la operación definida. Dicha partición está completamente determinada por el conjunto que contiene a e. Un subgrupo normal de G es entonces el conjunto que contiene a e en una de tales particiones. Los otros conjuntos son entonces las clases laterales de este subgrupo normal.

Equivalentemente, un subgrupo N de un grupo G es normal si y sólo si sus clases laterales derechas e izquierdas coinciden; esto es, aN = Na para todo aG. En términos del producto de subconjuntos, un subgrupo normal de G es uno que conmuta con cualquier subconjunto de G.

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