Gráfica de una función

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En un sistema de coordenadas cartesianas se han representado las curvas de algunas raíces, así como de sus potencias, en el intervalo [0,1]. La diagonal, de ecuación y = x, es eje de simetría entre cada curva y la curva de su inversa.

En matemáticas, la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer intuitivamente el comportamiento de dicha función. Más formalmente dada una función:

el gráfico es el conjunto de todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen.

Las únicas funciones que se pueden trazar de forma no ambigua mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. Algunos software de representación usan además colores, o curvas de nivel lo cual se puede lograr una representación satisfactoria.

El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes.

Dominio de definición

El Dominio de definición D de una función es el subconjunto de X que tienen imagen en Y:

Sin pérdida de la generalidad, consideramos, tanto el conjunto X como Y sea el de los números reales R, siendo X un intervalo o la unión de varios intervalos, podemos diferenciándose los siguientes casos:

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El dominio un intervalo abierto: (a,b). Se puede expresar:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor de b, tal que existe y número real é y= f(x).

La forma de representar el intervalo abierto, da lugar a la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo abierto (a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

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Si el dominio un intervalo semiabierto: (a,b]. Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor que x y x menor o igual de b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto (a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

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Si el dominio es el intervalo semiabierto: [a,b). Tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo semiabierto, tenemos la expresión:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo semiabierto [a,b) , tal que existe y número real é y= f(x).

FunEsc Dominio 04.svg

Si el dominio un intervalo cerrado: [a,b] la expresión resultante es:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real y a sea menor o igual que x y x menor o igual que b, tal que existe y número real é y= f(x).

Tomando la forma de representar un intervalo cerrado, tenemos que:

El dominio D es el conjunto de elementos x, número real en el intervalo cerrado [a,b] , tal que existe y número real é y= f(x).

En estos ejemplos hemos podido ver, las distintas formas de representar los distintos tipos de intervalos, tanto abiertos semiabiertos o cerrados, en una expresión o en una gráfica.

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