Geometría hiperbólica

La geometría hiperbólica (o lobachevskiana) es un modelo de geometría que satisface solo los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana. Aunque es similar en muchos aspectos y muchos de los teoremas de la geometría euclidiana siguen siendo válidos en geometría hiperbólica, no se satisface el quinto postulado de Euclides sobre las paralelas. Al igual que la geometría euclidiana y la geometría elíptica, la geometría hiperbólica es un modelo de curvatura constante:

  • La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura cero.
  • La geometría hiperbólica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.
  • La geometría elíptica satisface solo los cuatro primeros postulados de Euclides y tiene curvatura positiva.

Historia

Desde la antigüedad se realizaron esfuerzos por deducir el quinto postulado de Euclides referente a las paralelas de los otros cuatro. Uno de los intentos más amplios y ambiciosos fue el de Giovanni Gerolamo Saccheri en el siglo XVIII quien, contradictoriamente creó lo que podríamos considerar modelo incipiente de geometría hiperbólica. Sin embargo, Saccheri creyó que no era consistente y no llegó a formalizar todos los aspectos de su trabajo. También Johann Heinrich Lambert encontró algunas fórmulas interesantes referentes a lo que hoy llamaríamos triángulos de la geometría hiperbólica, probando que la suma de los ángulos es siempre menor que 180º (o π radianes), la fórmula de Lambert establecía que para uno de estos triángulos se cumplía:

Donde:

, es la suma de los ángulos del triángulo (expresada en radianes).
, es el área total del triángulo.
es una constante de proporcionalidad positiva relacionada con la curvatura constante del espacio hiperbólico en que se halla inmerso el triángulo.

Más adelante Carl Friedrich Gauss trabajó en un modelo similar pero no publicó sus resultados. En los años 1820 dos jóvenes matemáticos que trabajaban de modo independiente, János Bolyai y Nikolai Ivanovich Lobachevsky, publicaron sus modelos por los cuales establecían la posibilidad de un tipo de geometría alternativa, totalmente consistente, que es el que conocemos como geometría hiperbólica.

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