Geometría diferencial de superficies

Las curvaturas principales en un punto de una superficie.

En matemáticas, la geometría diferencial de superficies propone definiciones y métodos para analizar la geometría de superficies o variedades diferenciales de dos dimensiones inmersas en variedades de Riemann y, en particular, en el Espacio Euclídeo.

Aquí se tratará de las superficies en .

Ecuación paramétrica de una superficie

Puesto que una superficie en es una variedad diferenciable de dimensión dos, en un entorno V de una superficie, las coordenadas de cualquier punto de V pueden escribirse en función de dos parámetros (u, v), que fungen como sistema de coordenadas propia de la superficie:

Parametrización de una superficie

Un punto Q = (u0, v0) se llama regular si en él se cumple que los vectores tangentes en las direcciones u y v no son nulos, ni paralelos, es decir, que su producto vectorial es no nulo:

Esto es equivalente a pedir que el jacobiano del mapeo r (que va desde el dominio V en a ) tenga rango máximo, es decir, sea igual a dos. Así se asegura la existencia del espacio tangente en cada punto de la superficie.

Plano tangente

Dada una superfice de y un punto se define como el único plano geométrico de que contiene al punto y que contiene a todos los vectores tangentes a la superficie en dicho punto. La ecuación analítica de este plano puede expresarse con ayuda de la ecuación paramétrica de una superficie:

Más sencillamente el plano anterior puede escribirse como el conjunto que satisface la siguiente ecuación:

Aquí, se ha usado la simplificación de notación ,... etc

Vector normal a la superficie

Un vector se dice normal a una superficie en un punto si es perpendicular al plano tangente en dicho punto de la superficie. Esa propiedad nos dice que un vector normal es perpendicular a cualquier otro vector contenido en el plano tangente. Si tomamos dos vectores diferentes y tangentes a la superficie en un punto su producto vectorial será perpendicular a ambos y por tanto perpendicular a cualquier combinación lineal de ambos, es decir, perpendicular a todo el plano generado por estos dos vectores. Podemos aprovechar esa propiedad para calcular el vector normal simplemente como el producto vectorial de los dos vectores linealmente independientes dados por la parametrización de la superficie. Así el vector normal puede calcularse como:


Si se conoce en cambio la ecuación de la superficie f(x, y, z) = 0 entonces el vector unitario normal se calcula simplemente como:


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