Generador de un ideal

Sea un dominio y un subconjunto de . Si es el mínimo ideal de tal que , se dice que es el generador del ideal o, equivalentemente, que es un ideal de generado por .

El ideal de generado por el subconjunto de se denota comúnmente por

Cuando es un conjunto finito, digamos , se dice que el ideal es finitamente generado y se representa comúnmente por . En particular, si (i.e. si contiene un sólo elemento), se dice que es un ideal principal de .

Si A es un dominio tal que todos sus ideales son finitamente generados, entonces A es un anillo noetheriano, y recíprocamente. En particular, un anillo noetheriano cuyos ideales son todos principales se dice dominio de ideales principales (DIP).

Propiedades

Todo subconjunto de un dominio es el generador de algún ideal de , pues siempre existe por lo menos un ideal que contiene a (e.g. el propio dominio ). El ideal de generado por , , puede obtenerse explícitamente considerando que la intersección de cualquier familia de ideales es un ideal, y que, en particular, es el menor de todos ellos. Así,

( 1)

donde cada es un ideal tal que .

Si son subconjuntos de tales que , claramente

Un hecho que se deduce a partir de la definición de un ideal generado y de la de un ideal cualquiera es que

( 2),

por lo que todo elemento de un ideal generado es una combinación lineal de los elementos de , y se tiene así una forma de poner un ideal generado en términos de sus elementos. La ecuación (1) y la ecuación (2) pueden considerarse como definiciones equivalentes de ideal generado, aunque generalmente se usa (1) y de ahí se deduce fácilmente (2).

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