Funtores adjuntos

La existencia de muchos pares de funtores adjuntos es una observación importante de la rama de la matemática conocida como teoría de categorías. (La teoría de categorías continúa en cierta forma la visión estructuralista en matemática; ver también estructura algebraica, estructura (teoría de las categorías).). Los funtores adjuntos se pueden considerar desde varios puntos de vista. Este artículo comienza con unas cuantas secciones introductorias que consideran algunos de ellos.

Motivación

La ubicuidad de los funtores adjuntos

La idea de funtor adjunto fue formulada por Daniel Kan en 1958. Como ocurre con muchos de los conceptos en teoría de categorías, fue sugerida por las necesidades del álgebra homológica. Aquellos matemáticos preocupados por dar presentaciones ordenadas o sistemáticas del tema, observaron relaciones tales como

Hom (FB, C) = Hom (B, GC)

en la categoría de los grupos abelianos, donde el funtor F era 'toma el producto tensorial con A', y G era el funtor Hom(A,.). Aquí

Hom (X, Y)

significa 'todos los homomorfismos de grupos abelianos'. El uso del signo igual es un abuso de notación; los dos grupos no son realmente idénticos pero hay una manera de identificarlos que es natural. Puede ser visto como natural sobre la base, en primer lugar, de que éstas son dos descripciones alternativas de las funciones bilineales de BxA a C. Esto, no obstante, es algo peculiar del producto tensorial. Lo que la teoría de categorías enseña es que 'natural' es un término técnico bien definido en matemática: equivalencia natural.

La terminología viene del espacio de Hilbert y la idea del operador adjunto de T, U con <Tx, y > = <x, Uy>, que es formalmente similar a la anterior relación Hom. Decimos que F es adjunto izquierdo de G, y G es adjunto derecho de F. Puesto que G puede ser por sí mismo, un adjunto derecho, absolutamente diferente de F (véase abajo para un ejemplo), la analogía colapsa en ese punto. Si uno comienza a buscar estos pares de adjuntos de funtores, resultan ser muy comunes en el álgebra abstracta y también en otras partes. La sección de ejemplos más abajo proporciona las evidencias; además, las construcciones universales, que pueden ser más familiares, dan lugar a numerosos pares de funtores adjuntos.

De acuerdo con el pensamiento de Saunders MacLane, cualquier idea, tal como funtores adjuntos, que ocurra con suficiente extensión en matemática debe ser estudiada por sí misma.

Problemas profundos formulados con funtores adjuntos

Alexander Grothendieck utilizó la teoría de categorías para orientarse en ciertos trabajos fundacionales, axiomáticos del análisis funcional, el álgebra homológica y finalmente en geometría algebraica.

El reconocimiento del papel de la adjunción era inherente al enfoque de Grothendieck. Por ejemplo, uno de sus logros importantes fue la formulación de la dualidad de Serre en forma relativa - se puede decir: en una familia continua de variedades algebraicas. Toda la demostración giraba en torno a la existencia de un adjunto derecho para cierto funtor.

Los funtores adjuntos como solución a problemas de optimización

Una buena manera de motivar funtores adjuntos es explicar qué problema solucionan, y cómo lo solucionan. Eso sólo puede hacerse, en cierto sentido, gesticulando. Si puede ser dicho, sin embargo, que con los funtores adjuntos se crea el concepto de la mejor estructura, una del tipo que se esté interesado en construir. Por ejemplo, una pregunta elemental en teoría de anillos es cómo agregar una identidad multiplicativa a un anillo que no tenga tal cosa (la definición de Wikipedia asume realmente uno: vea anillo (matemática) y glosario de la teoría de anillos). La mejor manera es agregar un elemento 1 al anillo, y no agregar nada suplementario que no se necesite (se necesitará tener r+1 para cada r en el anillo, por supuesto), y que no agregue ninguna relación en el nuevo anillo que no venga forzada por los axiomas. Esto es algo vago, aunque sugestivo.

Hay varias maneras de hacer exacto este concepto de la mejor estructura. Los funtores adjuntos son un método; la noción de propiedades universales proporciona otros, esencialmente equivalente pero probablemente con un enfoque más concreto.

Las propiedades universales también se basan en la teoría de categorías. La idea es presentar el problema en términos de una cierta categoría auxiliar C; y entonces identificar lo que deseamos hacer como demostrar que C tiene objeto inicial. Esto tiene una ventaja que la optimización - la sensación que estamos encontrando la mejor solución - es seleccionado y reconocible como el logro de un supremo. Hacerlo es cuestión de destreza: por ejemplo, tome un anillo dado R, y haga una categoría C cuyos objetos sean homomorfismos de anillo RS, con S un anillo que tiene una identidad multiplicativa. Los morfismos en C debe completar los triángulos que son diagramas conmutativos, y preservar identidad multiplicativa. La aserción es que C tiene un objeto inicial RR*, y R* es entonces el anillo buscado.

El método del funtor adjunto para definir una identidad multiplicativa para los anillos es mirar dos categorías, C0 y C1, de anillos, respectivamente sin y con la asunción de la identidad multiplicativa. Hay un funtor de C1 a C0 que se olvida del 1. Estamos buscando un adjunto izquierdo para él. Esto es una clara, aunque seca, formulación.

Una forma para ver lo que es alcanzado usando cualquier formulación es intentar un método directo. (Algunos son más amigos de estos métodos, por ejemplo John Conway.) Se agrega al R simplemente un nuevo elemento, 1, y se calcula sobre la base de que cualquier ecuación resultante es válida si y solamente si vale para todos los anillos que podamos crear de R y 1. Éste es el método impredicativo: que significa que el anillo que estamos intentando construir es uno de los anillos cuantificados en todos los anillos. Este uso abierto de la impredicatividad es honesto, de forma distinta a como ocurre en teoría de categorías.

La respuesta con respecto a la manera de conseguir el anillo ( unital) a partir de uno que no es unital es bastante simple (véase los ejemplos abajo); esta sección ha sido una discusión de cómo formular la pregunta.

El argumento principal en favor de los funtores adjuntos es probablemente este: si uno avanza con propiedades universales o razonamientos impredicativos, bastante a menudo, parecen como una repetición de los mismos pasos.

El caso del orden parcial

Cada conjunto parcialmente ordenado se puede ver como una categoría (con un solo morfismo entre x y y si y solamente si xy). Un par de funtores adjuntos entre dos conjuntos parcialmente ordenados se llama una conexión de Galois (o, si es contravariante, una conexión de Galois antítona). Vea el artículo para un número de ejemplos: el caso de la teoría de Galois es por supuesto primordial. Cualquier conexión de Galois da lugar a operadores de clausura y a biyecciones inversas que preservan el orden entre los elementos cerrados correspondientes.

Al igual que el caso para los grupos de Galois, a menudo el verdadero interés reside en refinar una correspondencia a una dualidad (es decir isomorfismo de orden antítono). Un tratamiento de la teoría de Galois siguiendo estas líneas por Kaplansky fue influyente en el reconocimiento de la estructura general.

El orden parcial reduce las definiciones de la adjunción en forma absolutamente perceptible, pero puede proporcionar varios temas:

  • las adjunciones pueden no ser dualidades o isomorfismos, pero son candidatos a alcanzar ese estadio
  • los operadores de clausura pueden indicar la presencia de adjunciones, como correspondientes mónadas (cf. axiomas de clausura de Kuratowski)
  • un comentario muy general de Martin Hyland es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tome C como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones), y D el conjunto de partes del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T en C, sea F(T) el conjunto de todas las estructuras que satisfagan los axiomas T; para un conjunto de estructuras matemáticas S, sea G(S) la axiomatización mínima de S. Podemos entonces decir que F(T) es un subconjunto de S si y solamente si T implica lógicamente G(S): el "funtor semántico" F es adjunto izquierdo al "funtor de sintaxis" G.
  • La división es (en general) la tentativa de invertir la multiplicación, pero muchos ejemplos, tales como la introducción de la implicación en lógica proposicional, o división por ideales del anillo, se pueden reconocer como una tentativa de proporcionar un adjunto.

Estas observaciones en su conjunto proporcionan valor explicativo acerca del conjunto de todas las matemáticas.

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