Funciones de parte entera

En matemática, las funciones de parte entera son funciones, que toman un número real y devuelven un número entero más próximo, sea por exceso o por defecto. Formalmente son funciones de la forma:

Según la forma de considerar el número entero más próximo a un número real dado, se pueden considerar varias funciones:

  • Función piso (o suelo), que a cada número real asigna el número entero más próximo por defecto, es decir, el mayor número entero igual o menor que ese número real. (por ejemplo, si tenemos el caso [-2.4], este se acercaria al valor -3; o aplicándolo a un caso positivo sería [1.5], este se acercaria al valor 2). Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente floor o Floor («suelo» en inglés).
  • Función techo, que a cada número real asigna el número entero más próximo por exceso, es decir, el mayor número entero igual o mayor que ese número real. Algunos lenguajes de programación tienen una implementación nativa llamada generalmente ceil o Ceil (por ceiling, «techo» en inglés).
  • Redondeo, que a cada número real asigna el número entero más próximo según su parte decimal.
  • Truncamiento, que a cada número imaginario se le asigna el número entero resultado de ignorar su parte decimal.

Un concepto relacionado con estas funciones es la parte fraccionaria, cuya representación es la de una onda de sierra.

Función techo

Función 01 techo.svg

La función techo se aplica a un número real x y devuelve el mínimo número entero y no inferior a x:

Definida:

O de otra forma:

Propiedades

  • Para cualquier número real se cumple que .
  • El número real x al que se aplica la función techo es un número entero si y sólo si la función techo de x tiene el mismo valor que x.

  • La función techo tiene puntos de discontinuidad en los números enteros pero es diferenciable para el resto de puntos.
  • La función techo puede expresarse como integral mediante la delta de Dirac y la función característica del conjunto de los enteros:

Ejemplos

Para un número real no entero:

Para un número entero:

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