Funciones abiertas y cerradas

En topología, una función abierta es una función entre dos espacios topológicos cuando la imagen de un conjunto abierto es un conjunto abierto. Es decir, una función f: XY es abierta si para cualquier conjunto abierto U en X, la imagen f(U) es abierta en Y. Asimismo, una función cerrada cumple que la imagen de un conjunto cerrado es un conjunto cerrado.

Obsérvese que ni las funciones abiertas ni las cerradas requieren ser continuas. Aunque sus definiciones parecen naturales, las funciones abiertas y cerradas son mucho menos importantes que las funciones continuas. Una función f: XY es continua si la preimagen de cualquier conjunto abierto de Y es abierto en X, es decir: si la pre imagen de cada conjunto cerrado de Y es cerrado en X. Deberá cumplir que es biunívoca, continua y cerrada.Reciben esta denominación las formas que se muestran continuidad de contornos en su perímetro

Ejemplos

Cada homeomorfismo es abierto, cerrado, y continuo. De hecho, una función continua biyectiva es un homeomorfismo si es abierta, o equivalentemente, si es cerrada.

Siempre que tengamos un producto de espacios topológicos X = ΠXi, entonces las proyecciones naturales pi: XXi son abiertas (así como continuas). Puesto que las proyecciones de los fibrados y cubrimientos son local mente proyecciones naturales de los productos, éstos son también funciones abiertas (nótese que las proyecciones del producto no necesitan ser cerradas, considérese por ejemplo la proyección p1: R ² → R en el primer componente; A = {(x,1/x): x ≠ 0} es cerrado en R², pero p1(A) = R -{0} que no es cerrado).

A cada punto de la circunferencia unidad podemos asociar el ángulo que forma el eje X positivo con el radio que une dicho punto con el origen. Esta función de la circunferencia unidad al intervalo semi-abierto [0, 2π) es biyectiva, abierta, y cerrada, pero no continua. Esto muestra que la imagen de un espacio compacto bajo una función abierta o cerrada no necesita ser compacta. También obsérvese que si consideramos esto como función de la circunferencia unidad a los números reales, entonces no es ni abierto ni cerrado. Especificar el codominio es esencial.

La función f: RR con f(x) = x² es continua y cerrada, pero no abierta.

La función parte entera de R a Z es abierta y cerrada (porque Z tiene la topología discreta). Este ejemplo muestra que la imagen de un espacio conexo bajo una función abierta o cerrada no necesita ser conexa.

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