Función zeta local

En la teoría de números, una función zeta local Z(t) es una función cuya derivada logarítmica es una función generatriz del número de soluciones de un conjunto de ecuaciones definidas sobre un cuerpo finito F, en extensión de cuerpos Fk de F.

Formulación

La analogía con la función zeta de Riemann

se establece a través de la derivada logarítmica

.

Dado un F, existe, en un isomorfismo, sólo un cuerpo Fk con

[Fk:F] = k,

para k = 1,2, ... . Dado un conjunto de ecuaciones de polinomios — o una variedad algebraica V — definida sobre F, podemos contar el número

Nk

de soluciones en Fk; y crear la función generatriz

G(t) = N1.t + N2.t2/2 + ... .

La definición correcta de Z(t) es tomar el log Z igual a G, y por lo tanto

Z = exp(G);

tendremos que Z(0) = 1 dado que G(0) = 0, y Z(t) es a priori una serie de potencias formal.

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