Función zeta de Selberg

Propiedades

Para toda superficie hiperbólica de área finita existe una función zeta de Selberg asociada; esta función es una función meromórfica definida en el plano complejo. La función zeta se define a través de las geodésicas cerradas de la superficie.

Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z(s), pueden ser descritas mediante los datos espectrales de la superficie.

Los ceros se encuentran en los siguientes puntos:

1. Para toda forma de cúspide con autovalor ${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$ existe un cero en el punto ${\displaystyle s_{0}}$. El orden del cero es igual a la dimensión del autoespacio correspondiente. (Una forma de cúspide es una autofunción al operador de Laplace-Beltrami que tiene expansión de Fourier con término constante cero.)
2. La función zeta también tiene un cero en cada polo del determinante de la matriz de scattering, ${\displaystyle \phi (s)}$. El orden del cero es igual al orden del polo correspondiente de la matriz de scattering.

La función zeta también tiene polos en ${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$, y puede tener ceros o polos en los puntos ${\displaystyle -\mathbb {N} }$.