Propiedades
Para toda
superficie hiperbólica de área finita existe una función zeta de Selberg asociada; esta función es una función meromórfica definida en el plano complejo. La función zeta se define a través de las geodésicas cerradas de la superficie.
Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z(s), pueden ser descritas mediante los datos espectrales de la superficie.
Los ceros se encuentran en los siguientes puntos:
- Para toda
forma de cúspide con autovalor
existe un cero en el punto
. El orden del cero es igual a la dimensión del autoespacio correspondiente. (Una forma de cúspide es una autofunción al operador de Laplace-Beltrami que tiene expansión de Fourier con término constante cero.)
- La función zeta también tiene un cero en cada polo del determinante de la matriz de scattering,
. El orden del cero es igual al orden del polo correspondiente de la matriz de scattering.
La función zeta también tiene polos en
, y puede tener ceros o polos en los puntos
.