Función zeta de Dedekind

En matemática, la función zeta de Dedekind es una serie de Dirichlet definida para todo cuerpo K de números algebraicos, expresada como donde es una variable compleja. Está definida para números complejos s con parte real Re(s) > 1 por medio de la serie de Dirichlet

realizada sobre todos los I ideales del anillo de los enteros de K, con . Donde es la norma de I (al cuerpo racional Q): es igual a la cardinalidad de OK/I, en otras palabras, el número de clases de residuos módulo . En el caso en que K=Q esta definición se reduce a la función zeta de Riemann.

Propiedades

Las propiedades de como una función meromórfica resultan de un considerable significado en la teoría de números algebraicos. Tiene una representación en forma de producto de Euler

cuyo producto es sobre todos los ideales primos P de OK. Esta es la expresión en términos analíticos de la unicidad de la factorización prima de los ideales .

Se sabe (demostrado en forma general primero por Erich Hecke) que tiene una continuación analítica hacia todo el plano complejo como una función meromorfa, teniendo un polo simple solo en s = 1. El residuo en ese polo es una cantidad importante, que involucra a invariantes del grupo unitario y del grupo de clase de K; los detalles se encuentran en la fórmula de número de clase. Existe una ecuación funcional para la función zeta de Dedekind, que relaciona sus valores en s y 1−s.

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