Función zeta

Representación gráfica de la función Zeta de Riemann.

Una función zeta es una función formada por una suma de infinitas potencias, o sea que se puede expresar mediante una Serie de Dirichlet:

Ejemplos

Existen varias funciones matemáticas que reciben el nombre de función zeta, llamadas así por la letra griega ζ.

la más famosa es:

Otras funciones zeta son:

Muchas de estas funciones zeta están íntimamente relacionadas e involucran una serie de importantes relaciones entre sí. Existe consenso entre los matemáticos que seguramente existe una teoría general que permitiría unificar la mayoría de la teoría de funciones zeta y series de Dirichlet; pero al día de hoy no se ha descubierto aún la naturaleza de esa teoría general.

El teorema de Taniyama-Shimura es uno de los avances más recientes en la dirección de una comprensión generalizada. Conjeturas famosas relacionadas incluyen la conjetura de Artin, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer y la hipótesis generalizada de Riemann. La teoría de las funciones L debería contener la teoría de las funciones zeta; una función L es potencialmente un tipo 'extraño o retorcido' de función zeta. La clase S de Selberg es un intento de definir las funciones zeta axiomáticamente, de forma tal que sea posible estudiar las propiedades de la clase, y así poder clasificar a los elementos de la clase.

A pesar que suena parecido, no se deben confundir las funciones zeta con la función eta.

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