Función recíproca

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ –1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ –1 lleva 3 de vuelta en a.

En matemáticas, si f(x) es una función valorizada en un conjunto números denotados por x (variable) y que convierte elementos de "x" en elementos de "y",en ciertas condiciones se puede convertir f(x) en f -1(x) osea que regrese a "x"si se introduce la "y" En ese caso diremos que f -1 es la función inversa de f.

Definiciones formales

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

  • y
  • .

De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.

Definiciones alternativas

Función reciproca esquema.png

Dadas dos aplicaciones y las propiedades:

  1. y
  2. ,

entonces:

  • Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
  • Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha de f.
  • Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.

Este último punto se usa como definición de función inversa.

Notación alternativa

La notación tradicional puede ser confusa, ya que puede dar a entender . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

  • .
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