Función logística

Curva logística, normalizada:

La función logística, curva logística o curva en forma de S es una función matemática que aparece en diversos modelos de crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades epidémicas y difusión en redes sociales. Dicha función constituye un refinamiento del modelo exponencial para el crecimiento de una magnitud. Modela la función sigmoidea de crecimiento de un conjunto P.

El estudio inicial de crecimiento es aproximadamente exponencial; al cabo de un tiempo, aparece la competencia entre algunos miembros de P por algún recurso crítico K ("cuello de botella") y la tasa de crecimiento disminuye; finalmente, en la madurez, el crecimiento se detiene.

La función logística simple se define mediante la expresión matemática:

( 1)

donde la variable P puede ser considerada o denotada como población, donde e es la constante de Euler y la variable t puede ser considerada el tiempo.[1] Para valores de t en el rango de los números reales desde −∞ a +∞, la curva S se puede obtener. En la práctica, dada la naturaleza de la función exponencial, et, es suficiente con computar t para un pequeño rango de números reales como pueden ser [−6, +6].

En su forma más general, la función logística se define por la fórmula matemática:

( 2)

para parámetros reales a, m, n, y . Estas funciones tienen un campo de aplicación muy amplio, desde la biología a la economía.

Propiedades

La función logística que modeliza el crecimiento logístico de una magnitud M(t) tiene las siguientes propiedades:

  • Crecimiento acotado, para todo t se cumple que:
  • Aproximación exponencial, para valores pequeños de M/K (o también para valores de la función logística puede aproximarse por un modelo de crecimiento exponencial del tipo .
  • Valores límite, la función logística generalizada dada por la ecuación (2) tiene los siguientes límites:
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