Función generadora

En matemáticas, una función generadora o función generatriz es una serie formal de potencias cuyos coeficientes codifican información sobre una sucesión an cuyo índice corre sobre los enteros no negativos.

Hay varios tipos de funciones generadoras: funciones generadoras ordinarias, funciones generadoras exponenciales, la serie de Lambert, la serie de Bell y la serie de Dirichlet; de las cuales abajo se ofrecen definiciones y ejemplos. Cada sucesión tiene una función generadora de cierto tipo. El tipo de función generadora que es apropiada en un contexto dado depende de la naturaleza de la sucesión y los detalles del problema que se analiza.

Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una función generadora se «evalúa» en un valor específico x=a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x.

Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en en el sentido usual de ser mapeos entre un dominio y un codominio; el nombre es únicamente el resultado del desarrollo histórico de su estudio.

Una función generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesión de números para mostrarla

Función generadora ordinaria

La función generadora ordinaria de una sucesión (an) = a0, a1, a2, a3 ... se define como

Es común usar la expresión función generadora sin mayor calificativo, para referirse a este tipo de función.

Ejemplo.
La sucesión de Fibonacci definida por la recurrencia

es la sucesión 0,1,1,2,3,5,8,13,21,...
Su función generadora es

puesto que el desarrollo en serie de potencias de tal función es

.

y los coeficientes de tal desarrollo son precisamente 0,1,1,2,3,5,8,13,...

Es posible definir funciones generadoras sobre varias variables. Por ejemplo, la función generadora ordinaria en 2 variables de (am,n) donde n y m son índices que recorren los enteros no negativos, es

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