Función gaussiana

Curvas gaussianas con distintos parámetros para la media y la varianza. Los valores correspondientes son , b = μ, y c = σ.

En estadística, la función gaussiana o campana de Gauss (en honor a Carl Friedrich Gauss) es una función definida por la expresión:

donde a, b y c son constantes reales (c > 0).

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística. En el caso de que a sea igual a , la función de densidad de una variable aleatoria corresponde con la distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.

Propiedades

Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:

El valor de la integral es 1 si y solo si , en cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2. Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta.

Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier. Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original. La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.

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