Función gamma

Función Gamma en el eje real.
Valor absoluto de la función gamma en el plano complejo.

En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde es la escritura en mayúscula de la letra gamma del alfabeto griego) es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positiva, entonces la integral

converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si n es un entero positivo, entonces

lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de z. La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Definición clásica

La función gamma en el plano complejo.

Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integral

converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:

Esta ecuación funcional generaliza la relación del factorial. Se puede evaluar analíticamente:

Combinando estas dos resultados se deduce que el factorial es un caso particular de la función gamma:

para los enteros no negativos n.

La función Gamma es una función meromorfa de con polos simples en y residuos .[1] Estas propiedades pueden ser usadas para extender desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

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