Función elíptica

En análisis complejo, una función elíptica es, hablando toscamente, una función definida sobre el plano complejo y periódica en ambas direcciones. Las funciones elípticas pueden ser vistas como generalizaciones de las funciones trigonométricas (las cuales únicamente tienen la periodicidad en una dirección, paralela a la recta real). Históricamente, las funciones elípticas fueron descubiertas como las funciones inversas de las integrales elípticas; estas fueron estudiadas en relación con el problema de la longitud de arco en una elipse, de donde el nombre se deriva.

Definición

Formalmente, una función elíptica es una función meromorfa definida sobre para la que existen dos números complejos no nulos y tal que

 

y tal que no es un real. De esto se deduce que

  y para todo entero y .

En el desarrollo de la teoría de las funciones elípticas, la mayoría de autores modernos utilizan la notación creada por Karl Weierstrass: la notación de las funciones elípticas en forma de Weierstrass basadas en la función es cómoda y cualquier función elíptica puede ser expresada a partir de estas. Weierstrass se interesó en estas funciones cuando era estudiante de Christoph Gudermann, un estudiante de Carl Friedrich Gauss. Las funciones elípticas introducidas por Carl Jacobi, y la función auxiliar theta (no doble periódica), son más complicadas pero ambas importantes para la historia y para la teoría general. La diferencia más importante entre estas dos teorías es que las funciones de Weierstrass tienen polos de alto orden situados en las esquinas de un retículo periódico, mientras que las funciones de Jacobi tienen polos simples.

El estudio de las funciones elípticas está estrechamente relacionado con el estudio de las funciones modulares y las formas modulares, relación demostrada por el teorema de Taniyama-Shimura. Algunos ejemplos de esta relación son el invariante j, las series de Eisenstein y la función eta de Dedekind.

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