Función de Green

En matemáticas, una función de Green es una función matemática usada como núcleo de un operador lineal integral y usada en la resolución de ecuaciones diferenciales no homogéneas con condiciones de contorno especificadas. La función de Green recibe ese nombre por el matemático británico George Green, que desarrolló el concepto hacia 1830.

El término también aparece en física, particularmente en teoría cuántica de campos, para referirse a varios tipos de funciones de correlación y operadores integrales para ciertas magnitudes calculables a partir del operador de campo.

Motivación intuitiva

El término función de Green se usa para designar a un operador lineal K que tiene forma de integral, siendo el núcleo de este operador integral la función de Green propiamente dicha. Para explicar qué es la función de Green consideremos un operador diferencial lineal L que actúa sobre cierto espacio de funciones definidas sobre una variedad diferenciable M, y pongamos que pretendemos resolver la ecuación diferencial:

( 1)

La idea del método basado en la función de Green es encontrar una función de dos variables G(x, s) continua y diferenciable en el sentido de la teoría de distribuciones que cumpla:

( 2)

Donde es la distribución delta de Dirac. Si se puede hallar una función G que cumpla la ecuación (2) entonces la solución de la ecuación (1) sea cual sea la función f puede escribirse en la forma:

( 3)

Puede verse informalmente que la solución así calculada es solución de la ecuación (1) ya que:

Por tanto, tenemos la siguiente relación entre el operador integral dado por la función de Green y el operador diferencial asociado a la ecuación diferencial:

Conviene añadir algunas precisiones al planteamiento informal que hemos presentado:

  1. Si el núcleo de L no es trivial, entonces la función de Green no es única, aunque en la práctica una combinación de las simetrías del problema, las condiciones de contorno y otros criterios prácticos externos nos proporcionan una única función de Green.
  2. La función de Green G usualmente no es una Función matemática ordinaria sino que puede ser una distribución o función generalizada.
  3. No cualquier operador diferencial lineal L admite función de Green. En el caso más general K es sólo un inverso por la derecha de L.

Las funciones de Green son muy útiles en teoría de la materia condensada donde permiten resolver la ecuación de difusión y también en mecánica cuántica donde la función de Green del hamiltoniano es un concepto clave, para el desarrollo de la teoría cuántica de campos.

Other Languages
български: Функция на Грийн
فارسی: تابع گرین
한국어: 그린 함수
Nederlands: Greense functie
português: Função de Green
српски / srpski: Гринова функција
svenska: Greenfunktion
українська: Функція Гріна
中文: 格林函數