Función continua

En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función; aunque en rigor, en un espacio métrico como en variable real, significa lo contrario, que pequeñas variaciones de la función implican que deben estar cercanos los puntos. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).

La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.

Funciones reales de una variable real

Función Continua 011.svg

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.

El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.

El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)

El mayor elemento de J se llama el máximo absoluto de f en I, y el menor valor de J es su mínimo absoluto en el dominio I.

Continuidad de una función en un punto

Función Continua 014.svg

Definición de continuidad en un punto

Una función f es continua en un punto x0 en el dominio de la función

si:

tal que para toda x en el dominio de la función:

Esto se puede escribir en términos de límites de la siguiente manera:
Si x0 es punto de acumulación del dominio de la función entonces f es continua en x0 si y sólo si . Cuando x0 no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.

En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función es continua en un punto x1 si existe f (x1), si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f (x) cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f (x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:

1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.

Función Continua 022.svg

Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1, f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .

Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que este intervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2 valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.

La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.


Continuidad lateral

Función Continua 024.svg

Una función es continua por la izquierda en el punto si el límite lateral por la izquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.

Una función es continua por la derecha en el punto si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función es continua en un punto si es continua por la izquierda y es continua por la derecha. Esto es:


Continuidad de una función en un intervalo abierto: (a,b)

Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]

Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b:

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