Fracción continua |
En
donde a0 es un entero y todos los demás números ai son enteros positivos, para i= 0, 1, 2,...n,.... Los números a0, a1, a2,..., as se llaman elementos o cocientes incompletos.[3] Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una
El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la
donde a0 puede ser cualquier entero y los otros ai pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número , por ejemplo, se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).
Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los cálculos se hacen en el
La representación en fracción continua de los números reales evita ambos problemas. Por ejemplo, consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].
Así, puede representarse en fracción continua cualquier número real, y se cumplen estas cómodas propiedades:
La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy importante. Si truncamos una representación decimal, obtenemos una aproximación racional, pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representación decimal de π obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Los denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximación de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la aproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 veces más precisa que 3.1416.
