Fracción continua

Motivación

El motivo del estudio de las fracciones continuas es el deseo de dar una representación «matemáticamente pura» de los números reales. Estamos familiarizados con la representación decimal:

${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}}$

donde a₀ puede ser cualquier entero y los otros a_i pertenecen a {0, 1, 2, …, 9}. Así el número ${\displaystyle \pi }$, por ejemplo, se representa con la sucesión (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, …).

Esta representación tiene algunos problemas. Por ejemplo, la constante 10 se usa porque los cálculos se hacen en el sistema decimal; bien podría usarse el octal o el binario. Otro problema es que muchos racionales no tienen representación finita; por ejemplo, 1/3 lo hace con la sucesión infinita (0, 3, 3, …).

La representación en fracción continua de los números reales evita ambos problemas. Por ejemplo, consideremos el número 415/93, que vale aproximadamente 4.4624. Esto es aproximadamente 4, pero es algo mayor que 4, sobre 4+1/2. Pero el denominador 2 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 2+1/6, ya que 415/93 es aproximadamente 4+1/(2+1/6). Pero el denominador 6 no es correcto; lo sería uno algo mayor, sobre 4+1/(2+1/(6+1/7)). Esto es exacto. Quitando las partes redundantes de la expresión 4+1/(2+1/(6+1/7)), se obtiene su notación abreviada [4; 2, 6, 7].

Así, puede representarse en fracción continua cualquier número real, y se cumplen estas cómodas propiedades:

• La representación en fracción continua de un número real es finita si y solo si ese número es racional.
• La representación en fracción continua de un racional «simple» es generalmente corta.
• La representación en fracción continua de un racional es única siempre que no acabe en 1. (de hecho: [a₀; a₁,... a_n, 1] = [a₀; a₁,... a_n + 1].)
• Los términos de una fracción continua se repetirán si y solo si representa a un irracional cuadrático, es decir, si es solución de una ecuación cuadrática con coeficientes enteros. Por ejemplo, la fracción continua [1; 1, 1,... ] representa al número áureo y [1; 2, 2, 2, … ] a ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• El truncado de la representación en fracción continua de un número x da una aproximación racional que es, en cierto sentido, la «mejor posible» (véanse los teoremas 6 y 7, más abajo, para una formalización de este aserto).

La última propiedad, falsa si empleáramos la representación convencional, es muy importante. Si truncamos una representación decimal, obtenemos una aproximación racional, pero habitualmente no la mejor. Por ejemplo, truncando 1/7=0.142857… en varios sitios obtendremos aproximaciones como 142/1000, 14/100 o 1/10. Pero es claro que el mejor racional que aproxima a 1/7 es el propio 1/7. Si truncamos la representación decimal de π obtendremos aproximaciones como 31415/10000 o 314/100. La representación en fracción continua de π comienza con [3; 7, 15, 1, 292,.. ]. Si truncamos esta representación obtendremos las excelentes aproximaciones: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, … Los denominadores de 314/100 y 333/106 son casi iguales pero el error en la aproximación de 314/100 es nueve veces mayor que el de 333/106, así como la aproximación a π con [3; 7, 15, 1] es 100 veces más precisa que 3.1416.