Formas diferenciales cerradas y exactas

En matemáticas, en el cálculo vectorial y en la topología diferencial, los conceptos de forma cerrada y forma exacta son definidos para las formas diferenciales, por las ecuaciones

para que una forma dada α sea una forma cerrada, y

para una forma exacta, con dada y desconocida.

Como , ser exacta es condición suficiente de ser cerrada. En términos abstractos, el interés principal de este par de definiciones es que preguntar si ésta es también una condición necesaria es una manera de detectar la información topológica por condiciones diferenciales. No tiene ningún sentido real preguntar si una 0-forma es exacta, dado que d aumenta el grado en 1.

Perspectiva general

Los casos de formas diferenciales en y eran ya bien conocidas en la física matemática del siglo XIX. En el plano, 0-formas son simplemente funciones, y las 2-formas son funciones por el elemento de área básica , de modo que son las 1-formas

las que son de interés real. La fórmula para la derivada exterior d es

donde los subíndices denotan derivadas parciales por lo tanto la condición para que α sea cerrada es

En este caso si es una función entonces

La implicación de 'exacta' a 'cerrada' es entonces una consecuencia de la simetría de las segundas derivadas, con respecto a x y a y.

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