Forma diferencial

En geometría diferencial, la forma diferencial es un objeto matemático perteneciente a un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física. Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal antisimétrico definido sobre el espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable. En un espacio o variedad de dimensión n, pueden definirse 0-formas, 1-formas, ... y n-formas.

El concepto de forma diferencial es una generalización sobre ideas previas como el gradiente, la divergencia, el rotacional, etc. Esa generalización y la moderna notación usada en el estudio de las formas difenciales se debe a Élie Cartan.


0-formas, 1-formas y k-formas

El ejemplo no trivial más sencillo de una forma diferencial lo constituyen las 1-formas, también llamadas formas pfaffianas. Estas formas son la manera rigurosa de tratar los diferenciales de las funciones reales sobre una variedad (para funciones ordinarias la variedad es simplemente el espacio euclídeo, ). Las 1-formas también aparecen en física, así por ejemplo las "diferenciales" de las variables de estado usadas en termodinámica son de hecho 1-formas (aunque el tratamiento informal de las mismas descuida ese hecho). En Geometría diferencial o estudio de las variedades diferenciables, las 1-formas actúan como funciones lineales reales definidas sobre el espacio vectorial tangente a la variedad diferenciable que se esté considerando. Así pues el conjunto de todas las 1-formas definidas en un punto de la variedad es isomorfo al espacio dual del espacio vectorial tangente en dicho punto.

Otro ejemplo, un tanto trivial son las funciones reales definidas sobre una variedad, que pueden ser tratadas formalmente como 0-formas. El nombre se justifica porque existe un operador denominado diferencial exterior, que aplica k-formas en k+1-formas, puesto que la diferencial exterior de una función real es una 1-forma, se conviene en llamar 0-formas a los objetos matemáticos, como las funciones reales, cuya diferencial es una 1-forma. Así por ejemplo las funciones de estado de la termodinámica, el lagrangiano de la mecánica lagrangiana o el hamiltoniano de la mecánica hamiltoniana son de hecho 0-formas definidas sobre los respectivos espacios de configuración o espacios de fases del sistema físico.

Finalmente y usando el mayor nivel de generalidad se definen las k-formas. Una forma de grado k o k-forma es una sección diferenciable de la k-ésima potencia exterior del fibrado cotangente de la variedad. En cualquier punto P en una variedad, una k-forma da una función multilineal desde la potencia cartesiana k-ésima del espacio tangente en P a ℝ.

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