Fondo y génesis de la teoría de los topos

Esta página presenta de modo amplio la idea matemática de los topos. Ésta es una rama de la teoría de categorías, y tiene reputación de ser abstrusa. El nivel de abstracción involucrado no se puede reducir más allá de cierto punto; pero el contexto puede ser indicado. Esto se hará en parte en términos del desarrollo histórico, pero también hasta cierto grado dando una explicación de actitudes, ciertamente diferentes, frente a la teoría de categorías.

Escuela de Grothendieck

Durante la última parte de los años 1950, los fundamentos de la geometría algebraica estaban siendo reescritos; y es aquí donde los orígenes del concepto de los topos deben ser encontrados. En aquella época, las conjeturas de Weil era una motivación excepcional para la investigación. Como ahora sabemos, la ruta hacia su prueba, y otros avances, yace en la construcción de la cohomología etal.

Con la ventaja de lo retrospectivo, se puede decir que la geometría algebraica había estado luchando con dos problemas, durante mucho tiempo. El primero tenía que ver con puntos: en los viejos días de la geometría proyectiva era claro que la ausencia de suficientes puntos en una variedad algebraica era una barrera para obtener una buena teoría geométrica (en la cuál hubiera algo como una variedad compacta). Estaba también la dificultad, que fue evidente tan pronto como la topología tomó forma en la primera mitad del siglo veinte, que la topología de las variedades algebraicas tenían demasiado pocos conjuntos abiertos.

La cuestión de los puntos estaba cerca de su resolución cerca de 1950 cuando Grothendieck tomó un enfoque que (apelando al lema de Yoneda) terminó con él - naturalmente con un coste, que cada variedad o más en general esquema debía convertirse en funtor. Sin embargo, no era posible agregar conjuntos abiertos. La manera de avanzar era otra.

La definición de los topos primero apareció algo oblicuamente, en o alrededor de 1960. Los problemas generales del llamado 'descenso' en geometría algebraica eran considerados, en el mismo período cuando el grupo fundamental fue generalizado al contexto de la geometría algebraica (como grupo profinito). a la luz de trabajo ulterior, 'descenso' es parte de la teoría de las comónadas; aquí podemos ver la manera en la cual la escuela de Grothendieck se bifurca en su acercamiento de los teóricos 'puros' de categoría, un tema que será importante para la comprensión de cómo el concepto de topos fue tratado más adelante.

Había quizás una ruta más directa disponible: el concepto de categoría abeliana había sido introducido por Grothendieck en su trabajo fundacional en álgebra homológica, para unificar categorías de haces de grupos abelianos, y de módulos. Una categoría abeliana se debe ser cerrada bajo ciertas operaciones categórico-teoréticas - usando esta clase de definición se puede enfocar enteramente en la estructura, sin decir nada sobre la naturaleza de los objetos involucrados. Este tipo de definición se puede quizás retrotraer a concepto de reticulado. Era una pregunta aceptable, alrededor de 1957, sobre una caracterización puramente categórico-teorética similar, sobre categorías de haces de conjuntos.

Esta definición fue dada eventualmente (angl.), alrededor de 1962, por Grothendieck y Verdier (véase el seminario Bourbaki: Análisis Situs de Verdier). La caracterización estaba hecha por medio de categorías 'con suficientes colímites', y aplicado a lo qué ahora se llama un topos de Grothendieck. La teoría se completó, estableciendo que los topos de Grothendieck eran una categoría de haces, donde ahora la palabra 'haz' había adquirido un significado extendido con respecto a la idea topología de Grothendieck. (también llamada un sitio).

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