Filtro (matemáticas)

En matemáticas, específicamente en teoría del orden, retículos y topología, un filtro es un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado. Un caso especial utilizado con frecuencia es cuando el conjunto ordenado considerado el conjunto potencia de un conjunto S (es decir, el conjunto conformado por todos los subconjuntos de S), ordenado mediante la relación de inclusión. La noción de dual de un filtro es la de ideal.

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan in 1937[2] y utilizados subsecuentemente por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de red desarrollada en 1922 por E. H. Moore y H. L. Smith.

Definición general

Un subconjunto no vacío F de un conjunto parcialmente ordenado (P,≤) es un filtro si se dan las siguientes condiciones:

  1. Para cada x en F, y en P, x ≤ y implica que y también está en F. ('F es un conjunto "upper"', "hacia arriba")
  2. Para cada x, y en F, existe cierto elemento z en F, tal que z ≤ x y z ≤ y. (F es un conjunto filtrado)

Un filtro se dice propio si no es igual a todo el conjunto P completo.

Mientras que la definición de arriba es la manera más general para definir un filtro sobre "posets" arbitrarios, originalmente se definió sólo para los reticulados, en cuyo caso, la definición de arriba puede caracterizarse por la siguiente proposición equivalente:

Un subconjunto no vacío F de un reticulado (P,≤) es un filtro, si y sólo si es un conjunto "upper" que es cerrado bajo finitas "meets": ( ínfimo), esto es, para todo x e y en F, se tiene que está también en F.

El filtro más pequeño que contenga cierto elemento dado p es un filtro principal y p es un elemento principal en esta situación. El filtro principal para p viene dado por el conjunto {x en P | p ≤ x} y se denota poniendo delante de la p una flecha hacia arriba.

La noción dual de la de filtro, esto es, el concepto que se obtiene "dando la vuelta" a todas las " ≤ " y cambiando por , es el de ideal. Debido a esta dualidad la discusión sobre los filtros repite la de los ideales. De ahí que la mayor parte de la información adicional sobre ellos (incluyendo la de filtros maximales y filtros primos) se encuentra en el artículo sobre ideales. Existe también un artículo separado sobre ultrafiltros.

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