Factorización LU

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización o con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.

Definiciones

Sea A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)

donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares respectivamente.

Para matrices , esto es:

Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

Con matrices triangulares inferiores, matrices de permutación y una matriz triangular superior.

Para determinar :

y cada está dado por:

=

Esto se debe a que es igual a , pero con los elementos de la subdiagonal permutados.

Otra forma de ver éste tipo de factorización es: Recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su traspuesta

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