Fórmula de inversión de Möbius

La clásica fórmula de inversión de Möbius fue introducida en la teoría de números durante el siglo XIX por August Ferdinand Möbius. Fue generalizada más tarde a otras «fórmulas de inversión de Möbius».

Formulación

La versión clásica[2] establece que si g(n) y f(n) son funciones aritméticas satisfaciendo

entonces

donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos de n.[3] La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algún grupo abeliano. Las dos funciones se dice que son la transformada de Möbius la una de la otra. En el lenguaje de convoluciones (véase función multiplicativa), la primera fórmula puede expresarse como

donde "*" denota el operador convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante f(n)=1. De la misma manera, la segunda se expresa como

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