Exponencial de una matriz

La exponencial de matrices es una función definida sobre las matrices cuadradas, parecida a la función exponencial.

Sea una matriz x de números reales o complejos, la exponencial de denotada por o es la matriz dada por la serie de potencias:

Esta serie converge para toda matriz . Obsérvese que si la matriz es una matriz 1x1 la exponencial de corresponde con la exponencial ordinaria.

Propiedades

Sean e dos matrices , y dos números complejos cualesquiera. Denotemos con a la matriz identidad y con 0 la matriz nula. Entonces

  1. Matriz identidad: .
  2. Linealidad: .
  3. . Esta es consecuencia de las dos anteriores.
  4. Matriz inversa: consecuencia de la anterior.
  5. Relación traza- determinante: .
  6. , donde denota la transpuesta de la matriz .
  7. Preservación de la conmutación: Si entonces .
  8. Si es invertible entonces .
  9. Acotación de la norma:

Se sigue que si es simétrica, entonces su exponencial también lo es. Si es antisimétrica su exponencial es ortogonal.

  • donde denota la conjugada transpuesta de .

Se sigue que si es hermítica entonces su exponencial también lo es. Si es antihermítica entonces su exponencial es unitaria.

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