Exponenciación

La exponenciación es una operación definible en un álgebra sobre un cuerpo normada completa o álgebra de Banach (espacio vectorial normado completo que además es un anillo) que generaliza la función exponencial de los números reales.

Cuando a y b son dos números enteros la operación puede definirse en términos algebraicos elementales como equivalente a la potenciación. Sin embargo cierto número de problemas físicos concretos llevaron a tratar de generalizar la fórmula anterior a valores de b no enteros. Cuando b = 1/2 la operación equivale a una raíz cuadrada. Finalmente la exponenciación trata de generalizar la operación a valores de b cualesquiera. Usualmente dicha operación puede reducirse al cálculo de la operación . Este artículo generaliza esta operación a casos donde el exponente no es necesariamente un número real, sino un número complejo, un número cuaterniónico o más generalmente un elemento de un espacio de Banach.

Definición formal

Dado un elemento de un álgebra de Banach tenemos definidas una operación conmutativa de suma y otra de multiplicación, lo cual permite definir el anillo de polinomios sobre dicha álgebra. Además por tener una norma puede definirse para algunas series formales de potencias una noción de convergencia y por tanto de límite. En esas condiciones puede definirse la siguiente operación:

Nótese que:

  • Si el cuerpo sobre la que está definida el álgebra no contiene a el límite anterior podría no converger, de hecho el álgebra no podría ser un álgebra de Banach.
  • Si el álgebra no es un espacio vectorial normado no existe manera de establecer si el límite anterior converge.
Other Languages