Estrategia mixta

En teoría de juegos una estrategia mixta, a veces también llamada estrategia mezclada (del nombre en inglés mixed strategy), es una generalización de las estrategias puras, usada para describir la selección aleatoria de entre varias posibles estrategias puras, lo que determina siempre una distribución de probabilidad sobre el vector de estrategias de cada jugador. Una estrategia totalmente mixta es aquella en la que el jugador asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura. Las estrategias totalmente mixtas son importantes para el refinamiento del equilibrio.

Definiciones formales

Los matemáticos que se dedican a la teoría de juegos han llegado a representar formalmente algunos juegos mediante una tabla rectangular o producto cartesiano de conjuntos. Los elementos fundamentales para representar formalmente un juego de esa manera son el conjunto de jugadores (N), el conjunto de estrategias puras disponibles () y las funciones de pago o ganancia para cada una de esas estregias.

En esas condiciones la representación formal de un "juego rectangular" consta de un conjunto N, de una colección de conjuntos y de una colección de funciones donde

.

A N le llamaremos el conjunto de jugadores, a cada el conjunto de estrategias puras del jugador j y a la función de pago del jugador j. A veces por comodidad se usará una sola función de pago que consistirá en considerar cada como la j-ésima componente de un vector N-dimensional, es decir, se considerará un juego rectangular , con

.

Denotaremos

Estrategia mixta

Dado un juego rectangular , decimos que es una estrategia mixta del jugador j, si para toda , y . El entero denota el número de estrategias puras del jugador j.

Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.

En una estrategia mixta del jugador j, se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura .

La letra denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntos . A cada elemento de M lo llamaremos un perfil de estrategias mixtas.

En particular, podemos considerar una estrategia mixta de la forma para algún k, para todo i distinto de k. Dichas estrategias corresponden a las estrategias puras, de aquí que éstas últimas sean un caso particular de las estrategia mixtas.

Función de pago esperado

La función de pago esperado de un juego rectangular es la función definida como:

Intuitivamente, la función de pago esperado se basa en la definición de valor esperado, es decir, el pago promedio para cada jugador consistirá en la suma de cada ganancia posible (dada por ) por la probabilidad de que se dé esa ganancia (ésta probabilidad es justamente el producto de las ). De aquí que exista implícitamente una suposición de independencia en la toma de decisiones, es decir, aunque los jugadores puedan llegar a hacer pactos, al momento de tomar su decisión no hay ninguna fuerza externa que los haga mantener su promesa.

Denotaremos la función de pago esperado del jugador j como , que estará definida como la j-ésima componente de la función de pago esperado.

Estas funciones son importantes tanto en la teoría como en la práctica, pues están estrechamente relacionadas con los equilibrios de Nash.

Estrategias Mixtas y equilibrios de Nash

Fue John Forbes Nash en su tesis de doctorado quien demostró que cualquier juego rectangular finito tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (la existencia de equilibrios no necesariamente se da para las estrategias puras). Los equilibrios de Nash tienen importancia crucial en la teoría de juegos ya que corresponden a estrategias estables.

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