Espacio uniforme

En topología y análisis funcional, un espacio uniforme es un conjunto dotado de una estructura uniforme que permite estudiar conceptos como continuidad uniforme, completitud y convergencia uniforme.

La diferencia esencial entre un espacio topológico y un espacio uniforme está en que en un espacio uniforme, se puede formalizar la idea de "x1 está tan lejos de x2 como y1 lo está de y 2" mientras que en un espacio topológico se puede formalizar solamente que "un punto x está arbitrariamente cerca de un conjunto A" (es decir, en el cierre de A) o, tal vez, que "un entorno A de x es más pequeño que otro entorno B", pero la estructura topológica sola no da idea de la proximidad relativa entre los puntos.

Los espacios uniformes generalizan los espacios métricos y abarcan las topologías de los grupos topológicos y por lo tanto son la base de la mayor parte del análisis. Se deben a Henri Cartan y fueron introducidos a través de Bourbaki.

Definición

Existen tres definiciones equivalentes de espacio uniforme. Cada una de ellas difiere en el tipo de estructura con que se dota a un conjunto X para introducir el concepto de proximidad, pero los resultados que se obtienen son equivalentes.

Definición como colección de entourages

Si es un conjunto, una colección no vacía de subconjuntos del producto cartesiano es llamada una estructura uniforme en si se satisfacen los siguientes axiomas:

  1. si , entonces , siendo la diagonal en .
  2. si , entonces , siendo .
  3. si y es un subconjunto de tal que , entonces .
  4. si , entonces .
  5. si , entonces existe un tal que, siempre que y , se verifica .

Un conjunto junto con una estructura uniforme se denomina un espacio uniforme. Los elementos de se llaman entourages. Si se omite la segunda condición, se dice que el espacio es quasiuniforme.

La condición 5 se puede formalizar con la noción de encadenamiento o composición. Dados dos conjuntos V y U podemos componerlos en la forma ° existe , tal que . Entonces, la condición 5 dice que para todo , existe tal que ° .

Dado un punto puede definirse el conjunto . En un gráfico esquemático, puede representarse un entourage como un área que abarque la diagonal ""; cada conjunto sería entonces la sección vertical en la ordenada . Si , se dice que e son U-próximos. De la misma forma, si todos los pares de puntos de un conjunto son U-próximos (es decir, si ), entonces se dice que es U-pequeño.

Intuitivamente, dos puntos e son "cercanos" si el par está contenido en muchos entourages. Un solo entourage captura un grado particular de "proximidad". Interpretados así, los axiomas significan lo siguiente:

  1. cada punto está cerca de sí mismo (es U-próximo para cualquier entourage ).
  2. si está cerca de , entonces está cerca de (simetría).
  3. relajar un grado de proximidad da otro grado de proximidad.
  4. combinando dos grados de proximidad, se consigue otro.
  5. para cada grado de proximidad, existe otro que captura "dos veces más cerca".

Diremos que un entourage es simétrico si siempre que se verifica .

Un sistema fundamental de entourages de una estructura uniforme es cualquier colección B de entourages de tal que todo entourage de contiene un conjunto perteneciente a B. Aplicando la condición 3 se concluye que un sistema fundamental de entourages B es suficiente para especificar sin ambigüedad la estructura uniforme: es la colección de subconjuntos de que contienen un conjunto de B. Todo espacio uniforme tiene un sistema fundamental de entourages formado por entourages simétricos.

Una estructura uniforme es más fina que otra estructura uniforme sobre el mismo conjunto si .

Definición por medio de pseudométricas

Alternativamente, los espacios uniformes pueden definirse de forma equivalente utilizando familias de pseudométricas, un enfoque que es a menudo útil en el análisis funcional, donde las pseudodistancias o pseudométricas pueden construirse a partir de seminormas. En este caso, la idea de "proximidad" está cuantificada por las pseudodistancias.

Más concretamente, sea una pseudodistancia en un conjunto . Se puede demostrar que las imágenes inversas para forman un sistema fundamental de entourages. Diremos que la estructura uniforme generada por dicho sistema está definida o determinada por .

Dada una familia de pseudodistancias en , la estructura uniforme definida por la familia es el supremo de las estructuras uniformes definidas por las pseudodistancias individuales . Las intersecciones finitas de entourages de las estructuras definidas por dichas pseudodistancias proporcionan un sistema fundamental de entourages para la estructura uniforme definida por la familia de pseudométricas. Si la familia es finita, puede obtenerse la misma estructura uniforme a partir de una única pseudodistancia: la envolvente superior de todas las pseudodistancias.

También puede demostrarse que una estructura uniforme que admite un sistema fundamental de entourages numerable (y, en particular, una estructura definida por una familia numerable de pseudométricas) puede definirse por una única pseudométrica. A partir de aquí, se llega a deducir que cualquier estructura uniforme puede definirse a partir de una familia (no necesariamente numerable) de pseudométricas.

Los espacios topológicos que se definen a partir de pseudométricas son denominados por algunos autores como espacios de calibración o gauge.

Definición por recubrimientos uniformes

En el conjunto de recubrimientos de un conjunto X, se define una relación de forma que dados dos recubrimientos y , decimos que si para todo existe un tal para todo que se interseque con se verifica .

A partir de ahí, puede definirse un espacio uniforme como un conjunto dotado con una colección particular de recubrimientos de , formando un filtro bajo el orden .

Esto equivale a afirmar:

  1. es un recubrimiento uniforme.
  2. Si y es un recubrimiento uniforme, entonces también es un recubrimiento uniforme.
  3. Si y son recubrimientos uniformes, entonces existe un recubrimiento uniforme tal que y .

Dado un punto y un recubrimiento uniforme , se puede considerar la unión de elementos de a los que pertenece como un entorno de de "tamaño" , y esta medida intuitiva se aplica uniformemente en todo el espacio.

Dada una colección de entourages, podemos decir que un recubrimiento es uniforme si existe un entourage tal que para todo , existe cumpliendo . Reciprocamente, dada una colección de recubrimientos uniformes, los conjuntos , definidos para cada recubrimiento uniforme , forman un sistema fundamental de entourages de una estructura uniforme. Estas dos transformaciones son inversas entre si.

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