Espacio topológico

Cuatro ejemplos y dos anti-ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos {1,2,3}.
El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque la unión {2} y {3}, igual a {2,3}, no es parte de la colección.
El ejemplo inferior derecho tampoco es una topología porque la intersección de {1,2} y {2,3}, igual a {2}, no es parte de la colección.

Un espacio topológico es una estructura matemática que permite la definición formal de conceptos como convergencia, conectividad, continuidad, vecindad, usando subconjuntos de un conjunto dado.[1] La rama de las matemáticas que estudia los espacios topológicos se llama topología. Las variedades, al igual que los espacios métricos son especializaciones de espacios topológicos con restricciones y estructuras propias.

Definición

Formalmente, se llama espacio topológico al par ordenado (X,T) formado por un conjunto X y una topología T sobre X, es decir, una colección de subconjuntos de X que cumplen las tres propiedades siguientes:

1. El conjunto vacío y E pertenecen a T.

2. La intersección de cualquier subcolección finita de conjuntos de T pertenece también a T.

3. La unión de toda colección de conjuntos de T pertenece también a T.

Esta condición también se escribe, formalmente:[2]

A los conjuntos pertenecientes a la topología T se les llama conjuntos abiertos y a sus complementos en E conjuntos cerrados.

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