Espacio proyectivo

En perspectiva gráfica, las rectas paralelas en el plano intersecan en un punto de fuga en el horizonte.

En matemática, un espacio proyectivo es un conjunto de elementos similar al conjunto P(V) de líneas que pasan a través del origen de un espacio vectorial V. Los casos en los cuales V=R2 o V=R3 son conocidos como recta proyectiva y plano proyectivo, respectivamente.

La idea de un espacio proyectivo se relaciona con la perspectiva, más precisamente con la forma en la que un ojo o una cámara proyecta una escena 3D sobre una imagen 2D. Todos los puntos que se encuentran sobre una línea de proyección ( i.e., un "línea de visión"), intersecando con el punto focal de la cámara, se proyectan en un punto de imagen común. En este caso, el espacio vectorial es R3, con el punto focal de la cámara como origen y el espacio proyectivo corresponde a los puntos de imagen.

Los espacios proyectivos pueden ser estudiados como campos separados en matemáticas, pero también pueden ser usados en varios campos de aplicación, en particular, en geometría. Los objetos geométricos, tales como puntos, rectas, o planos, pueden tener una representación como elementos en espacios proyectivos basados en coordenadas homogéneas. Como resultado, varias relaciones entre esos objetos pueden ser descritas de la manera más simple posible sin coordenadas homogéneas. Más aún, varios enunciados en geometría pueden hacerse más consistentes y sin excepciones. Por ejemplo, en la geometría estándar, para el plano, dos rectas siempre intersecan en un punto excepto cuando éstas son paralelas. En una representación proyectiva de rectas y puntos, sin embargo, ese punto de intersección existe incluso para rectas paraleas, y éste puede ser calculado de la misma manera que otros puntos de intersección.

Otros campos matemáticos donde los espacios proyectivos juegan un papel importante son la topología, la teoría de grupos de Lie y los grupos algebraicos, y sus teorías de representación.

Introducción

Representación de un plano proyectivo.

Como se mostraba arriba, un espacio proyectivo es un objeto geométrico que formaliza enunciados tales como «rectas paralelas que intersecan en el infinito». Concretando, se puede realizar la construcción del plano proyectivo real P2(R) con cierto detalle. Hay tres relaciones equivalentes:

  1. El conjunto de todas las rectas en R3 que pasan a través del origen (0, 0, 0). Cada una de esas rectas se encuentran en la esfera de radio uno centrada en el origen exactamente dos veces, digamos, en P = (x, y, z) y en su punto antípodal (-x, -y, -z).
  2. P2(R) también puede ser descrito por ser los puntos de la esfera S2, donde cada punto P y su punto antípodal no son distinguibles. Por ejemplo, el punto (1, 0, 0) (rojo en la imagen) es identificado con (-1, 0, 0) (punto rojo claro), etc.
  3. Finalmente, con todo, otra definición equivalente es el conjunto de clases de equivalencias de R3\(0, 0, 0), i.e. 3-espacio sin el origen, donde dos puntos P = (x, y, z) y P* = (x*, y*, z*) son equivalentes sii hay un número real distinto de cero λ tal que P = λ·P*, i.e. x = λx*, y = λy*, z = λz*. La forma usual de escribir un elemento del plano proyectivo, i.e. las clases de equivalencias correspodientes a un punto íntegro (x, y, z) en R3, es: [x : y : z].

La última fórmula se conoce con el nombre de coordenadas homogéneas.

Nótese que cualquier punto [x : y : z] con z ≠ 0 es equivalente a [x/z : y/z : 1]. Así que hay dos subconjuntos disjuntos del plano proyectivo: los que consisten en los puntos [x : y : z] = [x/z : y/z : 1] para z ≠ 0, y los que consisten en los puntos restantes [x : y : 0]. El último conjunto puede subdividirse de manera similar en dos subconjuntos disjuntos, con puntos [x/y : 1 : 0] y [x : 0 : 0]. En el último caso, x es necesariamente distinto de cero, porque el origen no forma parte de P2(R). Por lo tanto el punto es equivalente a [1 : 0 : 0]. Geométricamente, el primer subconjunto, que es isomorfo (no sólo como conjunto, sino también como variedad, como se verá después) a R2, es en la imagen el hemisferio superior amarillo (sin el ecuador), o equivalentemente el hemisferio inferior. El segundo subconjunto, isomorfo a R1, corresponde a la línea verde (sin los dos puntos marcados), o, de nuevo, equivalente a la línea verde claro. Finalmente se tiene el punto rojo o el equivalente punto rojo claro. Se tiene así una descomposición disjunta

P2(R) = R2R1punto.

Intuitivamente, y se precisa a continuación, R1punto es en sí misma la recta proyectiva real P1(R).Considerado como el subconjunto P2(R), ésta es llamada recta en el infinito, donde R2P2(R) es llamado plano afín, i.e. sólo el plano usual.

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