Espacio prehilbertiano

En matemáticas, un espacio prehilbertiano o espacio prehilbert es un espacio vectorial provisto de un producto escalar. Más concretamente, es un par , donde es un espacio vectorial sobre un cuerpo y es un producto escalar en .

El espacio prehilbertiano es un tipo de espacio métrico con la métrica inducida por la norma que como veremos puede definirse a partir del producto escalar.

Un espacio prehilbertiano que además sea un espacio completo, se dirá que es un espacio de Hilbert o hilbertiano. Si es de dimensión finita se dirá que es espacio euclídeo.

Una condición necesaria para que un espacio prehilbertiano sea un espacio de Hilbert es que el cuerpo base sea o , así ningún espacio prehilbertiano sobre puede ser un espacio de Hilbert.

Definiciones

Formalmente, un espacio prehilbertiano es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (Puede ser o ), el cual posee una operación definida con la siguiente función:

llamada producto escalar, que satisface ciertos axiomas:

  • Hermítica.
Nótese que si , la propiedad de hermítica es la simetría ordinaria:
Esta condición implica que para todo , porque .
  • Sesquilineal:
Combinando esta propiedad con la de ser hermítica:
En el caso de que el cuerpo sea esta propiedad implica que el producto escalar es bilineal.
(Tiene sentido, ya que para todo .)
Además, el único vector que al hacer el producto escalar con él mismo es cero, es el vector nulo, es decir:
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