Espacio métrico

En matemática, un espacio métrico es un conjunto que lleva asociada una función distancia, es decir, que esta función está definida sobre dicho conjunto, cumpliendo propiedades atribuidas a la distancia, de modo que para cualquier par de puntos del conjunto, estos están a una cierta distancia asignada por dicha función.

En particular, cualquier espacio métrico será, además, un espacio topológico porque cualquier función de distancia definida sobre un conjunto dado induce una topología sobre dicho conjunto. Se trata de la topología inducida por las bolas abiertas asociadas a la función distancia del espacio métrico.

Definiciones

Definición de espacio métrico

Formalmente, un espacio métrico es un conjunto (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada (también llamada una métrica) (donde es el conjunto de los números reales). Decir es una distancia sobre es decir que para todo , , en , esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

  1. (positividad)
  2.     (identidad de los indiscernibles)
  3.     (simetría)
  4.     ( desigualdad triangular).

Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico

Sea un espacio métrico, y sean y un punto de y un número real positivo o cero, respectivamente:

  • Se llama bola (abierta) centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como , o como .
  • Se llama bola cerrada centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como o como o también como .
  • En análisis funcional la terminología puede llevar un poco a confusión, pues a la bola abierta de radio y centro se la suele denotar por o por , mientras -y aquí viene la posible confusión- a la bola cerrada de centro y radio se la denota por o por .
  • Algunos autores utilizan la expresión disco en lugar de bola, así es que se puede hablar en términos de disco abierto y disco cerrado. En particular, esta terminología se utiliza en Variable Compleja, y cuando se considera la distancia euclídea sobre el conjunto .
  • Se llama esfera centrada en y de radio , al subconjunto de : , denotado usualmente como , o como .
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